近來, 小弟在『神魔之塔』幫小怪升等的時候.
就想著, 累積經驗能否以數式表示?
於是乎就開始收集數據, 如下:

等級
累經
差分
二重差分
1
0
53
103
2
53
156
104
3
209
260
104
4
469
364
105
5
833
469
104
6
1302
573
104
7
1875
677
103
8
2552
780
105
9
3332
885
105
10
4217
990
103
11
5207
1093
104
12
6300
1197
105
13
7497
1302
104
14
8799
1406
15
10205

有關差分和二重差分的介紹, 可參看這裡︰「柏努利公式」和古代的「招差術」
其實看到二重差分不是常數, 就知道只能以估算方法處理:
f(n) = 0*C(n-1, 0)+53*C(n-1, 1)+104*C(n-1, 2)     
(注︰C(n, r) = n! / r! (n-r)! )

然後就會得到 f(n) = 52n^2-103n+51 作為初始的估算公式.
甚麼? 這不就是高一的?一元二次公式 , Quadratic Equation?!?

可能你會問, 既然你都收集了15級的數據, 還要公式來幹什麼?
實際情況是, 這遊戲中不只是15級, 還是接著下來的99級.
還是, 這只是基數, 不同的小怪有不同的倍數(暫時已知有兩~六, 八 和 十倍)
如果單靠這初始估算式, 到兩倍的39級已有一百以上的誤差
(39級的估算累經: 150252, 39等的實際累經:150355)
而且, 等級越大 或 倍數越大, 誤差亦會越大 (約1%)
作為一個數學人, 當然是想辦法修正這誤差.

修正的念頭徘徊在腦海中約一星期.
直到留意到:
(1) 在17級前的數值是估算大於實際
(2) 在17級後的數值是估算小於實際
(3) 剛巧, 在17級的數據是估算=實際

於是, 想起以前學過 圓族, Family of Circles
那課是說, 如果有兩圓C1 , C2 相交與兩點,
那其餘穿過該兩點的圓形皆能以 C1 ?和 C2 的 方程來表達.
假設C1和C2的方程分別為 f(x,y) = 0 及 g(x,y)=0
那麼, 通過該兩點的某圓的分別為 f(x,y)+k*g(x,y)=0
(注︰如果f(x,y)和g(x,y)中的x^2 , y^2 互相抵消的話, 該方程的圖象為穿過該兩點的一直線, 數學上會稱之為 公共弦, common chord )

現在的情況很類似, 只不過是把圓形換成拋物線而已.
於是, 我依樣葫蘆地作以下嘗試:
初始估算方程, f(n,y) = 52n^2-103n+51 - y = 0
穿過1級和17級數據的直線, g(n,y) = 833(n-1) - y = 0
f(n,y)+k*g(n,y)=0, 再慢慢調整k的數值及以四捨五入方式處理,
終於得出更進一步的估算公式(感動T^T):
? h(n) = 52.0614n^2 - 104.105n + 52.0431 (需四捨五入)
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